在现实世界中，描述物理现象的方程应该是分数阶的而不应该是整数阶的。这是因为，分数阶微分方程由分数阶导数来描述，分数阶导数的具有记忆性特性，它能更好地描述物理材料的性质。Riemman-Liouville分数阶微分方程由于对初始条件的刻画更加符合现实，从而成为分数阶微分方程的研究热点。 我们知道，一个系统的适定性是其最本质的特性，是研究其他性质的基础，于是研究非齐次Riemann-Liouville分数阶微分方程解的性质是十分重要的研究课题。培养目标：培养学生查阅文献的能力，了解Riemann-Liouvill分数阶导数的定义和相关性质，利用分数阶Cosine函数的性质来研究(1,2)阶非齐次Riemann-Liouville分数阶微分方程的解性质。

主要工作

本文中，第三部分主要讨论了齐次分数阶微分方程解的存在唯一性，并对齐次分数阶微分方程的强解和温和解做出了定义，此外，我们还对强解和温和解的性质分别作出研究和证明。

对于齐次分数阶微分方程

（1-3）

令算子族为算子生成的阶分数阶预解式，则：

（1）对所有的，是齐次微分方程的强解且满足存在唯一性。

（2）对所有的，是齐次微分方程的温和解且满足存在唯一性。

本文第四部分就是在第三部分齐次分数阶微分方程解的性质的基础上拓展并研究非齐次分数阶微分方程的解的性质，利用齐次微分方程研究过程中的理论和结果，先对其进行一系列的公式和推导变换，求出其强解和温和解的表达形式，并对其存在唯一性作出证明。

对于非齐次分数阶微分方程

（1-4）

令算子族为算子生成的阶分数阶预解式，则：

（1）对所有的，是非齐次微分方程的强解且满足存在唯一性。

（2）对所有的，是非齐次微分方程的温和解且满足存在唯一性。

最后用具体例子证明了上述结论成立。

结论

本文通过分数阶微积分的定义引出非齐次分数阶微分方程的定义，接着利用已有的知识对方程进行求解并对其强解和温和解作出定义，然后探讨了强解和温和解的存在唯一性,得到以下结论：

①Banach空间X上A生成的算子族是阶分数阶预解式，函数，则对所有的方程存在唯一的温和解且

（4-8）

②Banach空间X上A生成的算子族是阶分数阶预解式，假定极限存在且满足下列两个条件之一：

（1）并且；

（2）并且，

则对所有的，方程存在唯一的强解，且.

展望

以下是还有待研究的问题：

①研究α在其它情况下非齐次分数阶微分方程解及其性质；

②研究非齐次分数阶微分方程在实际中的具体应用；

③研究存在两个变量α,β时非齐次分数阶微分方程解的性质及其应用。