我们此次主要研究的是一类捕获问题的单调性、稳定性和分歧性。捕获是食物链中非常重要的一部分。因此研究捕获问题是十分具有生物学意义的。捕获问题的研究无论是对维持自然界物种平衡，还是对捕获经济收益持续最优化都是十分有益的。

在本文中，我们探讨的捕获问题模型是在 Neumann 边值条件下的 Logistic 模型。通过利用线性化分析，一致极值原理与反极值原理、稳定性理论和分歧理论等，我们对该模型的解进行分析，探究正解的全局结构；在? ? u 平面由方程得到一条连续可微的曲线，该曲线只有一个转折点，且在该转折点左转。因此，根据不同的捕获系数? ， 我们将会求得 Logistic 方程恰好有零个、或一个，或两个解，及其稳定性。至于解关于x 的单调性，其与增长率a(x) ，其他因素b(x) ，捕获项h(x) ，以及其第一特征值相关。

文中，我们主要采用了非线性化分析，非线性分析的理论和方法起源于数学的许多领域，而本文中分线性分析主要是非线性方程线性化。同时，我们也利用了一致极值原理与反极值原理。进而根据稳定性理论和分歧理论，尤其是 Lyapunov 第一方法和Crandall-Rabinowtiz 分歧理论，对解的单调性、稳定性和分歧性进行研究。

根据（1-7）的生物学意义，我们可知物种密度 u(x)应为非负。所以我们主要研究的是（1-7）的正解存在性、单调性、稳定性和分歧性。

论文内容

本文主要分为四个章节

第一章为绪论。主要介绍选题背景和问题的研究现状。同时，提出问题模型，介绍本文观点，研究方法。

第二章为预备知识。主要介绍本文研究中涉及的理论知识。包括特征值问题、稳定性理论、分歧理论、极值与反极值原理。

第三章为主要结果的证明。主要是对问题（1-4）解的单调性分析，稳定性分析和分歧，并得出主要结果。

第四章为结论和展望。主要是对全文的总结，以及对问题研究的展望。

本文采用了非线性分析、一致极值原理和反极值原理，同时应用稳定性理论和分歧理论，得到解的全局结构和性质。

相较于前人的研究，本文的研究对增长率a(x) 的限制会更少， a(x) 取值范围更广

（小于? 2 4 ）在[0,1] 内可变号的。非线性项 g(x, u) ? a(x)u ? b(x)u2 ， h(x) 是与 x 相关的，更符合现实情况，具有现实意义。同时本文增加了单调性，可了解种群物种密度u(x) 随各种因素变化的情况（即种群的动态变化情况）。

我们现在讨论的是（4-1）解的单调性，稳定性和分歧性，将来我们可以讨论其对

称性。进一步，我们现在讨论的情况是一维的，我们接下来可以讨论高维情况下（4-1） 解的单调性，稳定性，分歧性，对称性。我们现在以h(x) ? 0, b(x) ? 0 为前提，可以试想一下当h(x), b(x) 在[0,1] 也是可变号的函数，此时（4-1）解的单调性、稳定性和分歧性又会是什么样子的。本文给出的是（4-1）这类生物模型正解稳定性和分歧性的研究方法。其非线性项是 g(x, u) ? a(x)u ? b(x)u2 ，而在现实的自然界中，其非线性项可能更为复杂，也可能不是关于u 的多项式函数，而是一些初等函数的复合函数，甚至可能出现u? 。这些方程的研究具有很大的空间和实际意义，而且研究方法可参照本文中的分析方法。