一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义

Gronwall不等式是目前常用不等式之一，同时是是数学中一类非常重要的不等式, 有其良好的性质。 Gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数, 有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.并由此得出一系列的推广及应用。比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性及二重积分的应用等.Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年证明。而积分形式则是Richard?Bellman在1943年证明。并且对于Grownall不等式的一些定理，我们可以推导出一些相关其他定理，如其在一类二阶线性中的推广、二重积分的推广、和积分不等式中都有许多推广，为解决许多数学问题提供了方便，极大的方便了我们的应用。

二本课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题

Gronwall不等式是数学中一类非常重要的不等式, 有其良好的性质.。明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数, 有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围. 探讨并研究Gronwall不等式的一般理论和性质；利用Gronwall不等式探讨并研究常微分方程解的唯一性与存在性理论Gronwall的相关推广。

此课题要求学生掌握Gronwall不等式的若干性质, 会用Gronwall不等式解决微分方程中的相关问题.因此要解决的主要问题就是Grownall不等式若干性质的证明，并举例讨论其相关的应用。

三、毕业设计（论文）的要求与数据

1、探讨并研究Gronwall不等式的一般理论和性质；

2、利用Gronwall不等式探讨并研究常微分方程解的唯一性与存在性理论;

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Gronwall的不等式又称为Gronwall -贝尔曼不等式。由Gronwall在1919年发现其微分形式并证明，是在数学中一种十分重要的不等式。其有各种不同的性质。Gronwall不等式通常可以运用来估测函数矩阵中解的应用与分析。例如,运用Gronwall不等式来证函数矩阵的唯一性的解。且同样其还在微分方程中有着许多其他方面的运用。例如在常微分方程及积分方程的求解与运用中,都占有不可或缺的作用。所以本文将主要对Gronwall不等式的若干性质进行阐述并推广以及应用。并且用Gronwall 不等式的相关性质及推广来解决在微分方程中的问题及其相关证明，以及阐明Gronwall的重要意义。

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经过以上阐述的几种微分方程数值解法以及Gronwall不等式的推广证明及应用，我们可以清楚地得出，在应用Gronwall 不等式求解微分方程问题的特点：计算方便、计算量小、方便快捷。但是却存在计算精度却很低的问题，并需要通过一系列的推导变换才能得出。但是梯形法则不同，运用其算法可以提高计算精确度和计算的简单性。Gronwall 不等式的精确度是一阶的，改进的Gronwall 不等式的计算精度二阶的。改进的Gronwall 不等式得到的结果要比Gronwall 不等式得到的结果更加精准。对于Gronwall 不等式来说，越高阶的方法计算其结果准确越高，但相应的计算量越大。所以对于不同的求解，我们应该采取适当的解决方法。因此可以看出在微分方程问题中Gronwall不等式起着重要作用。

掌握并灵活运用上述Gronwall不等式应用和推广对于求解常微分方程模型中的数值解有着重要的意义。本文通过对Gronwall不等式的基本定义及相关推广来解决了许多在微分方程中应用的问题。特别在相关微分方程唯一性和存在性问题上，Gronwall不等式为其提供了快捷的推广和简洁的证明方式。