Cahn-Hilliard方程是一类四阶非线性偏微分方程，在科学和工程中具有非常广泛的应用，因此构造求解Cahn-Hilliard方程的高效数值算法具有重要的理论意义和应用价值。本课题试图釆用两重 网格法求解Cahn-Hilliard方程，首先在粗网格空间中求解一个非线性问题，然后在细网格空间中求 解一个线性问题得到最终的逼近解，避免在细网格空间中求解一个规模较大的非线性问题，从而降低了计算时间。通过引入一个中间变量，将四阶偏微分方程分为两个二阶偏微分方程求解，降低了计算规模，进一步提高计算效率。

本文将有限元法和两重网格法相结合，构造出求解Cahn-Hilliard方程的有限元两 重网格算法，并通过具体的算法案例得到了理想的拟合结果。还提出了不同有限元的 模拟结果的对比以及混合有限元法的两重网格算法。最后我们给出不同算法的误差以 及相应的收敛情况，比较各个算法的精确性、收敛性和CPU时间。

本文的工作安排

本文用三章来具体的研究Cahn-Hilliard方程的两重网格算法

第一章是绪论部分，主要是对有限元法，混合有限元法以及两重网格法做一个大 概的阐述，指出他们的优缺点。同时在第一章里提出关于Cahn-Hilliard方程学者们都 做了哪些研究方向，给出本文的观点和研究目的。

第二章是做一个预备知识的补充，是为了让读者更好的了解文章要讲述的内容。 第三章是本文的核心部分，重点给出两重网格算法的数值分析和算法案例来验证 算法，给岀算法的收敛阶和误差。

本文将有限元法(包括混合有限元法)和两重网格法结合在一起，构造出来了 Cahn- Hilliard 方程的一类有效的数值解法，通过具体的算法案例以及与一重网格法进行对比， 验证了算法的有效性和高效性，本文的成果如下

(1)通过运用Green第一公式求得了 Cahn-Hilliard方程的变分形式

y

(ut, v) + y(Au, Av) + — Vv) = 0 Vv G 7

u(0) = u0

并给出不同格式的变分形式比较了它们的区别与联系

为了降低要求的变分形式的阶数，使得问题复杂程度得到减小，引入混合有限元 的变分形式

(ut, q) + y(恥,Vv) = 0 Pv E X

(Vu,Vq) + §(/"(u),q)=(紬q) WqEX

其中3 = —Au H— f (u)。

根据不同的形式我们给出了不同的算法，包括传统有限元算法和有限元两重 网格算法