数学与应用数学论文开题报告

一、课题的来源及意义

  在科技，工程，医学，经济等各个领域，很多问题常常归结为解线性方程组，有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程组，但其数值解法中却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。虽然发现用高斯消去法求解线性方程组的起源是在公元前250年，但是在工程和科学方面由于需求受到特殊技术的限制，没有深入进行研究。随后关于解线性方程组的其他方法经历了一个爆炸性的研究，对以后的科学发展起到了很大的促进作用。

高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。

二、国内外发展状况及研究背景

目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展，更具有普遍性。

在我们目前学习的《高等代数》这本书中学习到了用消元法，克拉默法则解线性方程组；在期刊《稀疏线性方程组求解方法的实现和比较》体现了选主元LU分解法的优势与简便；在《数值分析》中用高斯消去法，矩阵三角分解法等直接方法求解线性方程组……

三、本科题的研究目标和内容

 研究目标:

结合矩阵的理论研究与初等变换后线性方程组同解的性质，利用不同方法求解线性方程组，并给出解线性方程组在许多领域上的实际应用实例。

 研究内容：

 1.利用矩阵的秩的概念，判定线性方程组是否有解。

 2.如果线性方程组有解，那么如何求解。

 3.用高斯消元法，直接三角分解法，克拉默法则求解线性方程组。

 4.齐次线性方程组有无穷多解时，解的结构以及解不是唯一的齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解有何联系。

四、本课题研究方法及进度安排

研究方法：

结合高等代数，数值分析的学习，通过文献研究法、对比分析法、归纳总结法、例证法，

总结解线性方程组的几种不同方法，用逻辑思维对问题进行深入探讨。

进度安排：

第一阶段：完成论文题目的确定，到学校图书馆、网上查阅并收集国内外有关线性方程组的解法的资料，准备论文开题报告（2015年秋第6-8周）；

第二阶段：完成开题报告，进一步收集资料，学习相关知识，开始准备撰写初稿（2015年秋第9-12周）；

第三阶段：撰写初稿，修改论文，中期检查（2015年秋第13周-2015年春第6周）；

第三阶段：在老师的帮助下不断完善、修改论文，并完成论文终稿（2016年春第7-14周）；

第四阶段：进行论文答辩，认真做好总结（2016年春第15周）。

五、实验方案的可行性分析和已具备的实验条件

可行性分析：

1.掌握了课题研究所需具备的基础知识。

2.上网查阅了更多涉及研究课题内容的书籍以及论文，认真做好笔记为论文提供资料。

3.在老师耐心的指导下，保证毕业论文高质量的顺利的完成。

已具备的实验条件：

1.高等代数中已经学到了解线性方程组的基本解法。

2.在图书馆收集到的各种有关课题的相关资料。

3.在网上收集到的各种有关课题的期刊杂志，以及论文文献，为研究奠定基础。

六、具体参考文献

[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2003.

[2]段正梅,王汉明,金朝篙.线性代数(第一版)[M].清华大学出版社,2006.

[3]李庆扬,王能超,易达义.数值分析(第五版)[M].清华大学出版社,2008.

[4]张科.两类线性方程组的预处理技术及数值求解方法[D].上海大学,2014.

[5]商磊.大规模线性方程组求解的并行运算及应用[D].西北工业大学,2007.

[6]陈秋杰,董玉革.可靠性逼近中次线性方程的计算方法[J].合肥工业大学学报(自然科学版). 2011.(02)

[7]李彦双.一类非齐次线性方程的周期解[J].内蒙古民族大学学报(自然科学版).2007.(02)

[8]郭明月.线性方程组各种解法的讨论与思考[J].高等函授学报(自然科学版).2005.(02)

[9]葛学滨.线性方程组解结构的历史研究[D].山东大学.2009.

[10]仝秋娟.几种特殊线性方程组的解法研究[D].西安电子科技大学.2013.