四阶Runge—Kutta方法中比较常用的显格式为经典的公式（21），也是根据上述参数方程（20）来确定一般格式中的参数所得到的。因为显格式（13）共有13个参数，而总计11个参数方程，由解的判定定理知，此方程（20）有无穷多个解，从而有四阶Runge—Kutta方法中的显格式不是唯一的。我们可以尝试推出新算法，但目前为止这个算法是最实用的[13]。

Runge—Kutta方法作为最重要的单步方法，是一类具有相当实用价值的方法。它关于初值是稳定的，其解连续地依赖于初值，它是一类便于应用的单步方法，为了计算，只用到前一步的值即可，因此每步的步长可以独立取定，可以按照绝对稳定性、精度等项要求随时更换。常用的Runge—Kutta方法精度较高，为了达到预定的精度，与Euler方法和梯形法相比，步长h可取得大一些，求解区间上的总步数可以少一些。但Runge—Kutta方法也有一些缺点，比如四阶Runge—Kutta方法每算一步需四次计算f(x,y)的值，计算量较大（对于较复杂的f(x,y)而言）

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本章针对常微分方程初值问题的求解，根据实际情况引人了计算机作为辅助计算工具，并根据高等数学的有关知识将欧拉公式、改进的欧拉公式、经典龙格一库塔方法等融入到计算机程序算法之中，充分利用了计算机的速度优势，大大减轻了操作人员的劳动强度，同时也使计算结果更加可靠、准确。但是，在实际应用时，针对不同的实际情况选择合适的求解方法需要有更高的要求，既要考虑到方法的简易，又要减少计算量，同时又不能让截断误差超出指定范围。一般来说经典龙格一库塔算法精确度高又利于计算机编程实现，稳定性也很好，可以考虑作为首选实现算法[19]。

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本文首先对一阶常微分初值问题进行了详细的描述，并给出了相关的数值解法以及各种数值解法的推导过程，然后运用计算机语言对其中较为常见的几种解法进行了数值试验，在分析试验结果的基础上，对欧拉算法，改进的欧拉算法和龙格—库塔法的优劣性进行比较。

本文的主要研究目的就是对各种常用的数值算法进行综述，再用数值试验比较各种方法的优劣，以此为目标，本文获得了以下研究成果：1.深刻理解了一阶常微分初值问题以及各种数值解法的推导过程。2.能熟练运用C语言进行编程来实现欧拉算法，改进的欧拉算法和龙格—库塔法对方程的求解。3.能运用试验结果的数据进行分析，并且针对实际情况，在方法的简易程度、计算量的多少以及误差的大小三个方面对数值算法的优劣性进行比较。

本文所讨论的方程虽然比较简单，远没有工程运用中来的复杂，但是本文对数值方法的比较和分析同样适用于更为复杂的方程问题，给出简单的问题更能以小见大，对于选择哪种合适的数值解法应用于实际求解过程中更有良好的指导意义。