课题的背景、意义及培养目标

组合恒等式是筛法的一个重要分支，它起源于上世纪30年代Vinogradov关于线性素变数指数和的研究。本选题主要讨论一些著名的组合恒等式，如Vaughan恒等式、Linnik恒等式等，并给出其在数论研究中的应用。

设计(论文)的原始数据与资料

组合恒等式起源于上世纪30年代Vinogradov关于线性素变数指数和的研究，接着被Linnik成功地运用，后来又被许多数学家发展，例如在上世纪70年代和80年代，Vaughan和Heath-Brown先后提出了以他们名字命名的恒等式。如今，这些恒等式在某些与素数相关的问题的研究中起着极其关键的作用。         

课题的主要任务

了解组合恒等式的起源及其主要处理对象，掌握一些著名的组合恒等式，如Vaughan恒等式、Linnik恒等式等，并给出其应用。

本文首先介绍Riemann对于解析数论发展的重大贡献及Vaughan恒等式的理论背景，接下来给出Vaughan恒等式的解析方法证明及初等方法证明，之后作为Vaughan恒等式的推广，我们对Heath-Brown恒等式进行推导，最后简要介绍Vaughan恒等式的一个应用。本文主要研究方法为解析方法，基本内容属于解析数论范畴。

结论与展望

Vaughan恒等式作为数论研究的一个重要工具，在计算变量指数和的过程中可以发挥重大作用。利用Vaughan恒等式及它的推广，将在无限序列上的两个函数的乘积分成多个有限序列上的数论函数的乘积，虽然这些数论函数本身确定取值比较困难，但是如果序列的大小合适，它们在每个小区间的指数和是能大致得到的，或者得到一个指数和的上界。

例如，我根据R.C.Vaughan的文章，简要介绍Vaughan恒等式的一个应用。首先先写两个不加证明的不等式：