一、研究课题

求解方程Ax + d = λx，其中A为某给定n×n矩阵，d为给定的n阶列向量，x为未知的n阶列向，λ为未知数，并且x满足x(n-1) = x(n)即最后的两个分量相等。

二、研究方向与方法

由于A矩阵的性质未知，所以可以根据限制A矩阵的具体情况来对这个方程的解进行研究。可以先给出一些比较特殊的A矩阵的情况，然后再慢慢加强。

关于解出这个方程最关键的地方在于如何确定λ的值，因为一旦能够找到合理的λ，那么我们就可以通过直接解方程的方式来解出x的值。

三、研究过程

1、将原方程变形为(λ-A)x = d

2、取A是特殊的矩阵，例如对角阵、上三角矩阵、三对角矩阵等情况，然后利用x(n-1) = x(n)的条件来计算λ的值，最后解出x的值

3、取A是实对称矩阵，由A=PΛPT,P是一个正交矩阵(满足PT = P-1)，Λ是一个对角阵，其对角线上的元素都是A的特征值，而P的每个列向量都是A对应特征值的特征向量，带入变形后的方程并再次变形为：x = PT(λ-Λ)-1Pd。由x(n-1) = x(n)的条件，可以写出x(n-1)和x(n)关于λ、P、d的式子，然后就变成解关于λ的一元高次方程。

4、考虑A是普通的实矩阵。

四、结论预测

1、对于A取特殊的矩阵，例如对角阵、上三角矩阵等，可以直接计算出λ的值。

2、对于A取实对称矩阵，最后需要解一个关于λ的高次方程，由于方程的形式非常优秀，可以通过牛顿法等方法迅速求出λ的值。

五、需要用到的技术和知识

1、在A取作实对称矩阵时，需要快速的求出A的特征值矩阵Λ，以及A用来相似对角化的正定矩阵P，这里需要用到数值的方法，例如QR方法、Jacobi方法等。

2、在解关于λ的高次方程的时候，可以使用牛顿法来快速求解。

3、以上的方法可以使用matlab软件来辅助计算。

......

题背景和意义

本文主要研究方程Ax + d = λx的解，其中A是一个给定的n阶矩阵，且情况未知，d是一个给定的非零向量，所需要求解的未知量为向量x与一个数值λ，且向量x中满足x(n-1) = x(n)。如果把这个向量方程看做一个方程组并且把的x(n-1) = x(n)也看做一个方程的话，这个方程组一共有n+1个方程，n+1个未知量，但由于λ的存在，它并不是一个通常的线性方程。

研究目的和思路

通过对给定但是不确定具体形式的A矩阵进行讨论，根据A矩阵的性质来解原方程。由于原方程的形式非常接近线性方程组，如果先确定或者固定了λ的值，那么，来解这个方程剩余的x的值就很方便了。而我们也可以通过利用x(n-1) = x(n)和A矩阵的性质来确定λ的值或者给出λ的可行范围。这样我们就能够解决这个问题了。为了体现λ在方程中的意义，我将原方程变形为

(*) (λ - A)x = d

而这个形式就是我们在接下来的文章中讨论这个方程的解的主要形式。同时，这个形式很容易让我们想到最后的解x与λ的值，是否会与A矩阵的特征值和特征向量有关联。