研究内容

1）矩阵奇异值分解的概念

2）奇异值分解用于解线性方程组以及对得到的解进行去噪等优化处理（要求用MATLAB实现）

3）奇异值分解用于信号分析

4）进行仿真分析

拟解决的问题

用奇异值去解答一个线性的方程组（用MATLAB实现），优化所求解，并用这一个方程组所表达的信号意义对所求解进行检验。

信息的处理在现今这个高速发展的信息时代显得越发重要，基于奇异分解技术的信号分析在这方面的应用也是越来越广泛。复杂的，大容量的信息在数学模型上就是一个大的矩阵，对矩阵的计算就是对信号的分析与处理。奇异分解技术屏弃了传统的矩阵求逆法，通过对矩阵的因子分解把矩阵约化到相对简单的矩阵的特征值问题，取得了良好的数值稳定性。本论文对奇异值分解技术在理论和矩阵数值计算上进行了论述，利用MATLAB对相应信号进行了分析和仿真，并与传统求逆法进行了比较，以证明奇异分解技术的优越性。

结果的优化处理

由于在（-pi/10,pi/10）,（-pi/15,pi/15）, （-pi/30,pi/30）内结果是可以接受的，所以重点对（-pi/60，pi/60）内的仿真结果进行优化。在MATLAB的SVD（）函数中得到的奇异值是统一按从大到小的顺序排列，排在最后的的奇异值最小，而与小奇异值相关联的特征可能在实际计算相似度时并不相关，将它们包括近来将降低相关性判断的精确度，相当于在这个用法变异中所引入的“噪音”，为了去掉这些不必要的“噪音”，我们将考虑剔除小的奇异值，保留下来的奇异值将表述方程的大有影响的特征。

所以进行优化的措施就是在解未知量的时候对奇异值进行取舍，在下面MATLAB文件的.m文件中采取如下两种措施对奇异值进行取舍：

1)直接对奇异值进行量的取舍，如改变for循环中的k=1:(n-0)为k=1：（n-1），去掉排在最后的一个奇异值（同时也是最小值的）。

2)设置针对奇异值的阀值1e-10，小于或者等于这个阀值的奇异值都不进入和式的计算中去。

与上图相比，本图中的红色曲线部分代表的值变小，和原始值相比较，变的太小，可以得出最后一个奇异值是不能舍掉的。同理，在SVD(2)里面的那个小的奇异值也是不能去掉的。不过，如果碰到后面的那个奇异值相对小到可以看做是信号噪声时，则可以去掉并且可以起到优化仿真结果的作用。