本文研究并改进了一种先进强大的求解稳健主成分分析的非凸交替投影算法，即从具有未知幅度和支撑的块稀疏异常数据中恢复低秩矩阵表征数据。交替投影算法每步迭代将残差适当地交替投影到低秩矩阵集合和稀疏矩阵集合之间；每个投影虽是非凸，但非常易于计算。尽管这一算法具有非凸性，但它可在基于凸松弛等主流方法所要求的相同条件下，建立了低秩与稀疏矩阵的精确恢复理论。此外，对于一个m? n 大小的输入矩阵（ 假定 m ? n ）， 为达到重构误差 ， 该算法的计算复杂度为O(r2mn log(1/ ? ) ) ，远低于基于凸优化方法的稳健主成分分析所需要的O(m2n / ? ) 。这样的优良性质促使我们将其推广到处理相对复杂的块稀疏异常数据中的低秩矩阵恢复问题。

我们进一步研究了对矩阵元素施加空间相干性对算法速度及效率的影响，具体的方法为首先将观测矩阵进行合理的分块，然后采用基于非凸交替投影算法的稳健主成分分析算法进对相应块进行处理。改进后的算法被称为基于交替投影算法的块稀疏主成分分析，其计算复杂度与原方法计算复杂度相同，仍为O(r2mn log(1/ ? ) ) 。

通过设计一系列人工合成和真实数据的实验，展示了我们的方法相比现有的凸优化方法的优势，即速度和准确性均有了明显的改进。具体地，在计算时间大幅降低的情况下，我们的方法能够得到效果相当甚至更好的运算结果。

本文内容安排如下：

第一章绪论部分，简单介绍了选题的应用背景，以及稳健主成分分析算法的国内外研究现状。

第二章首先介绍经典的降维工具——主成分分析，讨论了其优点和不足，然后引出适用于“低秩加稀疏”数据的稳健主成分分析，分别说明了基于凸优化的稳健主成分分析和基于非凸优化的稳健主成分分析，比较了它们的异同。

第三章着重介绍了当前最先进的基于非凸优化的稳健主成分分析算法，即基于交替投影算法的稳健主成分分析算法。

第四章是本文的主要工作，利用矩阵元素施加空间相干性对基于交替投影算法的稳健主成分分析算法加以改进，提出基于交替投影算法的块稀疏稳健主成分分析算法。

第五章通过使用人工合成和真实数据的实验，明确了我们的方法与现有的基于凸优化的块稀疏稳健主成分分析算法相比，速度有了明显的改进。

第六章回顾总结了本文所做的工作。先点明了本文设计的基于交替投影算法的块稀疏稳健主成分分析算法同基于凸优化的块稀疏稳健主成分分析算法相比，计算速度方面存在显著优势。随后指出了本文缺乏对算法的优化调参实验和收敛条件方面的证明。最后展望了今后继续研究的方向。

结论

本文针对现实中广泛存在的具有块稀疏结构与低秩结构的叠加矩阵数据，研究了基于交替投影算法的块稀疏稳健主成分分析模型。

基于交替投影算法的稳健主成分分析算法本身就具有非常优秀的特点，具有全局收敛性质和线性收敛速度，可在少的计算时间内达到任意精度的重构误差，该算法被发明至今一直是基于非凸优化的稳健主成分分析算法的最先进求解工具。在此基础上， 我们研究了对矩阵元素施加空间相干性（即块稀疏结构）对算法速度及效率的影响。

通过设计一系列人工合成数据和真实数据实验，我们表明了新算法相比现有基于凸松弛的块稀疏稳健主成分分析求解算法在计算效率与计算准确性两方面均有较为明显的提高，即在计算时间大幅降低的情形下，我们的新方法能够得到相当甚至更好的块稀疏矩阵与低秩矩阵分解效果。

但是，我们也惊奇的发现，如果仅仅考虑施加合适的块结构，而不针对该结构特点对每个块进行正则项参数的赋值，块结构施加得越好，算法就会越慢，效果也会越差，故研究每个分块的正则参数工作显得尤为重要。然而，幸运的是基于非精确增广拉格朗日乘子算法（属于凸优化方法）的块稀疏稳健主成分分析法[14]的提出者已经在这一方面有所研究，其他研究者也有相关论述，可以作为我们下一步的研究方向。