投影梯度法是求解无约束极小问题的最速下降法对于有约束极小问题的推广。我们知道，当约束条件较少时，最速下降法的收敛速度还是比较快的。但是，如果条件数较大时，它的收敛速度很慢。所以，投影梯度法也不可能有很快的收敛速度。不过例题中的约束条件也比较简单，因此，我们看到的收敛速度也是比较快的。

数值实验中，我们采用MATLAB进行科学计算和程序编辑。以下我们将就一些例题进行计算。

在MATLAB中，我们将目标函数定义为文件fun.m，梯度向量定义为gradf.m，这两个文件会因题目的不同而不同。其中，gradf.m中的函数可以用函数jacobian()计算得到。

本章，我们将会把最速下降算法推广至约束问题的求解。该算法中搜索方向为可行点处的最速下降方向在可行方向集中的投影。我们称相应的算法为投影梯度法。它是可行方向法中的一种。

我们先考察约束函数为线性函数的最优化问题：

.....

为了了解求解约束问题可行方向法的思想，我们先要了解一下求解无约束问题的下降算法。求解无约束问题的下降算法的过程是：在当前点处，寻找目标函数f的下降方向，然后，从出发，沿进行线性搜索产生步长，进而得到。

解约束问题的可行方向法与解悟约束问题的下降算法类似。但对约束问题而言，我们所关心的只是的问题的可行点。可行方向法从问题的可行点出发，在该点的可行方向中，寻找时目标函数下降的方向，然后沿该方向进行线性搜索，得到一个新的可行点。如此进行下去，算法产生一个点列，该点列中的所有的点均为问题的可行点。希望该点列终止于问题的解，或其极限点是问题的解。