构造变密度Stokes方程的相容分解算法，将非定常变密度 Stokes 方程的速度和压力解耦求解。考虑到通常的投影法中的压力校正格式和速度校正格式都给压力强加了一个非物理的Neumann 边界条件，从而导致压力的数值逼近不能达到最优收敛阶，本课题试图消除投影法中非物理边界条件的影响，根据密度的变化，构造高效的相容分解格式，确保压力具有较高逼近精度的同时，提高计算效率。

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课题的主要任务

1.构造变密度Stokes 方程的相容分解算法。

2.编制有限元程序数值实现所构造的相容分解算法，给出算法关于时间和空间的收敛阶。

给出经典的流体力学问题的数值算例，比如方腔流等问题。

本文主要研究了一种变密度 Stokes 方程的相容分解算法，以较大程度地消除分解误差的影响，从而具有较高的逼近精度。论文用数值实验验证了该算法的有效性。本文结构合理，写作较认真，格式规范，工作量较饱满.

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本文采用对区域适应性较好的有限元方法进行数值模拟，有限元法是一种求解偏微分方程数值解的数值方法。该方法基于变分原理，选择一组特殊的函数作为基函数。相对于差分法，有限元方法具有稳定性好，有比较好的误差估计。针对变密度 Stokes 方程耦合求解的困难，本文构造了一种相容分解格式将变密度 Stokes 方程解耦求解， 编制有限元程序数值实现所构造的相容分解算法，提高计算效率，并且给出算法的收敛阶。最后给出方腔流的数值实验。 

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本论文主要对变密度 Stokes 方程进行解耦求解。然后对其与耦合求解进行比较， 比较它们解之间的关系。求解过程中涉及到有限元的思想，有限元法是一种求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。由于有限元法形函数的求解依赖于事先划分的网格单元，所以其数值结果对与网格质量的敏感度很高，数值解的精度随着网格质量的变化而急剧的变化。还有一种无网格法，无网格法在一定程度上克服了网格法这一困难，无网格法形函数在一系列点上建立，不依赖于网格单元，这使得其对网格质量要求不高。有限元对于求解许多工程问题是一个很有价值的工具，一些复杂的几何形状或边界条件使求解变得困难时候有限元法可以很好适应这种情况[8]。

Stokes 的数值解法主要包括：迭代罚方法，隐式交替方向法，时间推进法，有限元素法，算子分裂法等。从数学角度看 Stokes 方程组，需要求解速度和压力，由于本论文的流体密度是变化的所以还需求解密度，其是一个耦合方程，速度的散度为零。因为 Stokes 方程组是非联立的，在求解某一变量时常假设另外一些变量已知。这就给方程组的解带来了一些扰动，对数值解的收敛过程产生影响。通过对 Stokes 方程的解耦求解可以减少 CPU 的工作时间，提高计算效率[7]。对 Stokes 方程是在一个单位正方形对其进行求解，解释前对于流体(密度可变)有两个基本假设：

1.流体是连续的。流体的内部无空隙，而且一些雾状粒子也不会聚合。

2.所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。

第二章主要对变密度 Stokes 方程进行耦合求解，也就是通常求解偏微分方程组的常见方法，为后面第三章变密度 Stokes 方程的解耦求解做参照，显示出解耦求解的优势。

第三章主要对变密度 Stokes 方程解耦求解，对密度?，速度场 u，及其压力 p 进行解耦求解，并且在附录二中有其算法。

第四章是对求解变密度 Stokes 方程所使用的软件 Freefem++进行简介。

第五章是变密度方腔流的数值实验，通过耦合求解的方法解决该问题，因为解耦求解存在分解误差不好调整所以采用解耦求解。

第六章是以上实验所得出的结论，通过对比显示出解耦求解的优势，解耦求解主要是计算精度高，求解效率高。