稀疏信号恢复问题是稀疏信息理论中的重要研究课题，其数学本质是求解一个欠定方程组的稀疏解。由于该问题是一个 NP-难问题，人们提出了许多近似求解的贪婪算法，正交匹配追踪算法（OMP 算法）就是其中的典型代表。对于由向量表征的稀疏恢复问题，OMP 算法展现出了较好的求解效果。但是，随着研究的不断深入和实际应用的更高需求，我们需要面对一组向量的联合稀疏问题。在这样的问题中，测量值不再是单个向量，而是一组向量组成的测量值矩阵；需要恢复的信号也不再是单个向量，而是由一个矩阵表征；更为重要的是，信号的稀疏性已不再是传统意义上的由单个向量支撑集所定义，而是由一组向量的共同支撑集所刻画。如何求解这样的联合稀疏问题已经成为稀疏信息处理中十分困难的研究课题。本毕设的目的就是围绕贪婪算法的研究，设计针对联合稀疏问题的有效算法，给出相关的理论分析，给出数值试验以验证算法的有效性。本毕设能充分训练和检验学生的科学研究思维方式，运用数学理论知识解决实际问题的能力。

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该论文对联合稀疏性问题进行了研究，基于传统的正交匹配追踪(OMP)算法的思想，提出了反向正交匹配贪婪算法和OMP推广算法。并对所提出的两种方法进行了严格的理论分析。此外，作者针对不同测量数和信号长度，进行了大量的数值实验，对几种方法进行性能上的比较。该论文工作量饱满，结构合理，语言通畅，是一篇良好的本科生毕业论文。

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本文对联合稀疏问题进行了研究，基于 OMP 算法的设计思想，通过把计算向量内积替换为残差矩阵与测量矩阵的相乘，计算乘积矩阵的行向量的2 ?范数，并进行大小比较，提出了一种称为 OMP 推广算法的贪婪算法。同时，在传统的 OMP 算法框架下， 我们采用测量矩阵列向量向误差矩阵列向量所张成的子空间上的投影误差作为匹配程度的刻画，提出了一种称为反向正交匹配贪婪算法的求解方法。对于提出的两种新算法，我们分别建立了相应的收敛性定理，给出了信号恢复的条件。此外，我们还进行了多组数值实验，分别针对不同测量数和信号长度，比较了两种新算法及其与传统的

OMP 算法。从实验结果，我们发现：反向正交追踪贪婪算法的恢复成功率高于 OMP 推广算法以及传统OMP 算法，而 OMP 推广算法在成功率上略优于传统的OMP 算法。但是，相较于反向正交匹配贪婪算法，OMP 推广算法中每次迭代不需要进行大量的如投影值计算等计算，因此简单易行。

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联合稀疏问题是稀疏信息处理中的一个新兴的研究课题，具有广泛的应用背景， 近年来得到许多学者的深入研究。在联合稀疏问题中，测量值不再是单个向量，而是一组向量组成的测量值矩阵；需要恢复的信号也不再是单个向量，而是由一个矩阵表征；更为突出的是，信号的稀疏性已不再是传统意义上的由单个向量支撑集所定义， 而是由一组向量的共同支撑集所刻画。若把向量看成 1 阶信号，则联合稀疏性是一种高阶稀疏性。阶数的提高不是一种形式上推广，它给问题的研究带来了本质上的困难。事实上，如何求解联合稀疏问题已经成为稀疏信息处理中十分困难的研究课题。

数学上，联合稀疏问题可本质地建模为一个离散的组合优化问题。与传统的单向量稀疏信号恢复问题一样，联合稀疏优化问题也是一个 NP-难问题，因此具有非常高的求解难度。周知，贪婪算法是一种数值求解组合优化问题的有效手段。例如，针对传统的稀疏恢复问题，正交匹配追踪算法（OMP）一种典型的贪婪算法，已成为传统稀疏恢复问题的代表性算法之一。但是，OMP 算法不能直接用于求解联合稀疏问题， 因为它的贪婪选择方式是通过计算测量矩阵列向量和误差向量的匹配程度来抉择，而在联合稀疏问题中我们面对的是向量与矩阵，它们之间无法直接进行所谓的匹配。

本文对联合稀疏问题进行了研究，基于 OMP 算法的设计思想，提出了两种求解联合稀疏问题的贪婪算法，分别称之为 OMP  推广算法和反向正交匹配贪婪算法。OMP 推广算法是基于 OMP 的设计格式，把计算向量内积替换为残差矩阵与测量矩阵的相乘，计算乘积矩阵的行向量的2 范数，并进行大小比较。对此算法，我们建立了相应的收 敛性定理，给出了信号恢复的条件。反向正交匹配贪婪算法是在传统的 OMP 算法框架 下，每一次匹配考虑的是测量矩阵列向量向误差矩阵列向量所张成的子空间上的......